可換モノイドを乗せるUnionFind
(src/data_structures/monoid-unionfind.hpp)

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• Last update: 2026-10-13 00:38:02+09:00
• Include: #include "src/data_structures/monoid-unionfind.hpp"

各頂点に値を持たせ、連結成分ごとの値の総積を管理する UnionFind です。可換モノイド (algebra/monoid.hpp) を渡して使います。

std::vector<long long> w = {1, 2, 3, 4, 5};
MonoidUnionFind<monoid::Sum<long long>> uf(w);
uf.merge(0, 1);
uf.merge(3, 4);
long long s = uf.prod(1);   // 1 + 2 = 3

// ラムダ式から作ったモノイドも渡せる
MonoidUnionFind uf2(v, Monoid([](int a, int b) { return std::min(a, b); }, INF));

メンバ関数

関数	説明	計算量
MonoidUnionFind(n, m = M())	頂点数 n、各頂点の値は単位元	$O(n)$
MonoidUnionFind(v, m = M())	各頂点の値を v で初期化	$O(n)$
merge(a, b)	辺 $(a, b)$ を追加する。2つの連結成分の値の積が新しい値になる。UnionFind と同じ MergeResult (代表元と、新しく統合したか) を返す	$O(\alpha(n))$
prod(a)	a の属する連結成分の値の総積	$O(\alpha(n))$
same(a, b)、leader(a)、size(a)、groups()	UnionFind と同じ

連結後の値は、どちらの成分が親になるかで積の順序が変わります。そのため、モノイドは可換である必要があります。

Depends on

• モノイドの定義 (src/algebra/monoid.hpp)
• UnionFind (src/data_structures/unionfind.hpp)

Verified with

• test/unittest/monoid-unionfind.test.cpp
• test/yukicoder/674.1.test.cpp

Code

#pragma once

/**
 * @file monoid-unionfind.hpp
 * @brief 可換モノイドを乗せるUnionFind
 */

#include <utility>
#include <vector>
#include "unionfind.hpp"
#include "../algebra/monoid.hpp"

/**
 * @brief 可換モノイドを乗せるUnionFind
 *
 * @tparam M 可換モノイド (algebra/monoid.hpp)
 */
template <typename M>
class MonoidUnionFind : private UnionFind {
   public:
    using S = typename M::S;

   private:
    M m;
    std::vector<S> val;
    using UnionFind::_n;
    using UnionFind::parent_or_size;

   public:
    /**
     * @param n 要素数 各要素の値は単位元で初期化する
     * @param m 可換モノイド
     */
    explicit MonoidUnionFind(int n = 0, M m = M()) : UnionFind(n), m(std::move(m)), val(n, this->m.e()) {}
    /**
     * @param v 各要素の初期値
     * @param m 可換モノイド
     */
    explicit MonoidUnionFind(std::vector<S> v, M m = M()) : UnionFind(v.size()), m(std::move(m)), val(std::move(v)) {}
    using MergeResult = UnionFind::MergeResult;
    using UnionFind::groups;
    using UnionFind::leader;
    using UnionFind::same;
    using UnionFind::size;
    /**
     * @brief a と b の連結成分を統合し、値の積を取る
     * @return 統合後の代表元と、新しく統合したか
     */
    MergeResult merge(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        int x = leader(a), y = leader(b);
        if (x == y) return {x, false};
        if (-parent_or_size[x] < -parent_or_size[y]) std::swap(x, y);
        parent_or_size[x] += parent_or_size[y];
        parent_or_size[y] = x;
        val[x] = m.op(val[x], val[y]);
        return {x, true};
    }
    /**
     * @brief 要素aの属する連結成分の値の総積
     */
    const S& prod(int a) {
        return val[leader(a)];
    }
};

template <typename M>
MonoidUnionFind(int, M) -> MonoidUnionFind<M>;
template <typename M>
MonoidUnionFind(std::vector<typename M::S>, M) -> MonoidUnionFind<M>;

#line 2 "src/data_structures/monoid-unionfind.hpp"

/**
 * @file monoid-unionfind.hpp
 * @brief 可換モノイドを乗せるUnionFind
 */

#include <utility>
#include <vector>
#line 2 "src/data_structures/unionfind.hpp"

/**
 * @file unionfind.hpp
 * @brief UnionFind
 */

#include <algorithm>
#include <cassert>
#line 11 "src/data_structures/unionfind.hpp"

/**
 * @brief 無向グラフに対して「辺の追加」、「2頂点が連結かの判定」をする
 */
struct UnionFind {
   protected:
    int _n;
    // 負ならサイズ、非負なら親
    std::vector<int> parent_or_size;

   public:
    /**
     * @brief merge の戻り値
     *
     * if (uf.merge(a, b)) で新しく統合したかを判定でき、
     * auto [r, merged] = uf.merge(a, b); で代表元も受け取れる
     */
    struct MergeResult {
        int leader;   //!< 統合後の代表元
        bool merged;  //!< 新しく統合したか (もともと同じ連結成分なら false)
        explicit operator bool() const { return merged; }
    };

    UnionFind() : _n(0) {}
    explicit UnionFind(int n) : _n(n), parent_or_size(n, -1) {}

    /**
     * @brief 辺(a,b)を足す
     * @return 統合後の代表元と、新しく統合したか
     */
    MergeResult merge(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        int x = leader(a), y = leader(b);
        if (x == y) return {x, false};
        if (-parent_or_size[x] < -parent_or_size[y]) std::swap(x, y);
        parent_or_size[x] += parent_or_size[y];
        parent_or_size[y] = x;
        return {x, true};
    }
    /**
     * @brief 頂点a,bが連結かどうか
     */
    bool same(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        return leader(a) == leader(b);
    }
    /**
     * @brief 頂点aの属する連結成分の代表元
     */
    int leader(int a) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        if (parent_or_size[a] < 0) return a;
        int x = a;
        while (parent_or_size[x] >= 0) {
            x = parent_or_size[x];
        }
        while (parent_or_size[a] >= 0) {
            int t = parent_or_size[a];
            parent_or_size[a] = x;
            a = t;
        }
        return x;
    }
    /**
     * @brief 頂点aの属する連結成分のサイズ
     */
    int size(int a) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        return -parent_or_size[leader(a)];
    }
    /**
     * @brief グラフを連結成分に分け、その情報を返す
     * @return 「一つの連結成分の頂点番号のリスト」のリスト
     */
    std::vector<std::vector<int>> groups() {
        std::vector<int> leader_buf(_n), group_size(_n);
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            leader_buf[i] = leader(i);
            group_size[leader_buf[i]]++;
        }
        std::vector<std::vector<int>> result(_n);
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            result[i].reserve(group_size[i]);
        }
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            result[leader_buf[i]].push_back(i);
        }
        result.erase(
            std::remove_if(result.begin(), result.end(),
                           [&](const std::vector<int>& v) { return v.empty(); }),
            result.end());
        return result;
    }
};
#line 2 "src/algebra/monoid.hpp"

/**
 * @file monoid.hpp
 * @brief モノイドの定義
 *
 * モノイドは次のメンバを持つ型として表す
 * - using S: 要素の型
 * - S op(const S& a, const S& b): 積 (結合的)
 * - S e(): 単位元
 * op, e は static でも非 static でもよい (データ構造はモノイドのオブジェクトを保持して呼び出す)
 */

#line 15 "src/algebra/monoid.hpp"
#include <istream>
#include <limits>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <type_traits>
#line 21 "src/algebra/monoid.hpp"

/**
 * @brief 1次関数 f(x) = a * x + b
 *
 * monoid::Composite の要素や acted_monoid::AffineSum の作用素に使う
 * 例: Affine<mint> f{2, 3}; f(x) は 2x + 3。省略すると恒等写像 {1, 0}
 */
template <typename T>
struct Affine {
    T a = T(1);  //!< 傾き
    T b = T(0);  //!< 切片
    constexpr T operator()(const T& x) const { return a * x + b; }
    friend constexpr bool operator==(const Affine& f, const Affine& g) { return f.a == g.a && f.b == g.b; }
    friend constexpr bool operator!=(const Affine& f, const Affine& g) { return !(f == g); }
    template <class CharT, class Traits>
    friend std::basic_istream<CharT, Traits>& operator>>(std::basic_istream<CharT, Traits>& is, Affine& f) {
        return is >> f.a >> f.b;
    }
    template <class CharT, class Traits>
    friend std::basic_ostream<CharT, Traits>& operator<<(std::basic_ostream<CharT, Traits>& os, const Affine& f) {
        return os << f.a << CharT(' ') << f.b;
    }
};

namespace monoid {

/**
 * @brief 和
 */
template <typename T>
struct Sum {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a + b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 積
 */
template <typename T>
struct Prod {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a * b; }
    static constexpr S e() { return S(1); }
};

/**
 * @brief 最大値 単位元は型の最小値
 */
template <typename T>
struct Max {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::max(a, b); }
    static constexpr S e() { return std::numeric_limits<S>::lowest(); }
};

/**
 * @brief 最小値 単位元は型の最大値
 */
template <typename T>
struct Min {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::min(a, b); }
    static constexpr S e() { return std::numeric_limits<S>::max(); }
};

/**
 * @brief 最小値と最大値の組 {min, max}
 */
template <typename T>
struct MinMax {
    using S = std::pair<T, T>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return {std::min(a.first, b.first), std::max(a.second, b.second)}; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), std::numeric_limits<T>::lowest()}; }
};

/**
 * @brief 排他的論理和
 */
template <typename T>
struct Xor {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a ^ b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 論理積
 */
template <typename T>
struct And {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a & b; }
    static constexpr S e() { return ~S(0); }
};

/**
 * @brief 論理和
 */
template <typename T>
struct Or {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a | b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 最大公約数 単位元は0
 */
template <typename T>
struct Gcd {
    static_assert(std::is_integral_v<T>);
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::gcd(a, b); }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 最小公倍数 単位元は1
 */
template <typename T>
struct Lcm {
    static_assert(std::is_integral_v<T>);
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::lcm(a, b); }
    static constexpr S e() { return S(1); }
};

/**
 * @brief 1次関数 (Affine) の合成
 * op(f, g) = g∘f (左から順に適用する)
 * 区間 [l, r) の積は f_{r-1}(...f_l(x)) を表す
 */
template <typename T>
struct Composite {
    using S = Affine<T>;
    static constexpr S op(const S& f, const S& g) { return {g.a * f.a, g.a * f.b + g.b}; }
    static constexpr S e() { return {T(1), T(0)}; }
};

/**
 * @brief 括弧列 対応の取れていない ')' と '(' の個数
 */
struct Parenthesis {
    struct S {
        long long close; // 対応の取れていない ')' の個数
        long long open;  // 対応の取れていない '(' の個数
        constexpr S(char c = 0) : close(c == ')'), open(c == '(') {}
        constexpr S(long long close, long long open) : close(close), open(open) {}
        /**
         * @brief 正しい括弧列か
         */
        constexpr bool is_valid() const { return close == 0 && open == 0; }
    };
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.open >= b.close) return S(a.close, a.open - b.close + b.open);
        return S(a.close + b.close - a.open, b.open);
    }
    static constexpr S e() { return S(); }
};

/**
 * @brief 最小値とその位置 同じ値なら左側を優先
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 位置などの付随する値の型
 */
template <typename T, typename U = int>
struct MinWith {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return b.first < a.first ? b : a; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), U{}}; }
};

/**
 * @brief 最大値とその位置 同じ値なら左側を優先
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 位置などの付随する値の型
 */
template <typename T, typename U = int>
struct MaxWith {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a.first < b.first ? b : a; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::lowest(), U{}}; }
};

/**
 * @brief 最小値とその個数
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 個数の型
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct MinCount {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.first < b.first) return a;
        if(b.first < a.first) return b;
        return {a.first, a.second + b.second};
    }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), U(0)}; }
};

/**
 * @brief 最大値とその個数
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 個数の型
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct MaxCount {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.first < b.first) return b;
        if(b.first < a.first) return a;
        return {a.first, a.second + b.second};
    }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::lowest(), U(0)}; }
};

} // namespace monoid

/**
 * @brief 関数オブジェクトと単位元から実行時に作るモノイド
 * ラムダ式を使える
 *
 * 例: SegTree seg(v, Monoid([](int a, int b) { return std::max(a, b); }, -1));
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op>
struct Monoid {
    using S = T;
    Op op_object;
    S identity;
    Monoid() = default;
    constexpr Monoid(Op op, const S& e) : op_object(std::move(op)), identity(e) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
};
template <typename Op, typename T>
Monoid(Op, T) -> Monoid<T, Op>;
#line 12 "src/data_structures/monoid-unionfind.hpp"

/**
 * @brief 可換モノイドを乗せるUnionFind
 *
 * @tparam M 可換モノイド (algebra/monoid.hpp)
 */
template <typename M>
class MonoidUnionFind : private UnionFind {
   public:
    using S = typename M::S;

   private:
    M m;
    std::vector<S> val;
    using UnionFind::_n;
    using UnionFind::parent_or_size;

   public:
    /**
     * @param n 要素数 各要素の値は単位元で初期化する
     * @param m 可換モノイド
     */
    explicit MonoidUnionFind(int n = 0, M m = M()) : UnionFind(n), m(std::move(m)), val(n, this->m.e()) {}
    /**
     * @param v 各要素の初期値
     * @param m 可換モノイド
     */
    explicit MonoidUnionFind(std::vector<S> v, M m = M()) : UnionFind(v.size()), m(std::move(m)), val(std::move(v)) {}
    using MergeResult = UnionFind::MergeResult;
    using UnionFind::groups;
    using UnionFind::leader;
    using UnionFind::same;
    using UnionFind::size;
    /**
     * @brief a と b の連結成分を統合し、値の積を取る
     * @return 統合後の代表元と、新しく統合したか
     */
    MergeResult merge(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        int x = leader(a), y = leader(b);
        if (x == y) return {x, false};
        if (-parent_or_size[x] < -parent_or_size[y]) std::swap(x, y);
        parent_or_size[x] += parent_or_size[y];
        parent_or_size[y] = x;
        val[x] = m.op(val[x], val[y]);
        return {x, true};
    }
    /**
     * @brief 要素aの属する連結成分の値の総積
     */
    const S& prod(int a) {
        return val[leader(a)];
    }
};

template <typename M>
MonoidUnionFind(int, M) -> MonoidUnionFind<M>;
template <typename M>
MonoidUnionFind(std::vector<typename M::S>, M) -> MonoidUnionFind<M>;

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