群の定義
(src/algebra/group.hpp)

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• Last update: 2026-10-13 00:38:02+09:00
• Include: #include "src/algebra/group.hpp"

ポテンシャル付きUnionFind や マージソートツリー などに渡す群です。

群は モノイド のメンバ (S、op、e) に加えて、次のメンバを持つ型として表します。

• S inv(const S& a): 逆元

一覧 (namespace group)

群	要素の型 S	積	単位元	逆元
Sum<T>	T	a + b	0	-a
Prod<T>	T	a * b	1	1 / a (0 を含まない体の元など)
Xor<T>	T	a ^ b	0	a

いずれも monoid::Sum<T> などを継承しているので、モノイドとしても使えます。

ラムダ式から作る

Group(op, e, inv) で、関数オブジェクトと単位元から群を作れます。

auto g = Group([](int a, int b) { return a + b; }, 0, [](int a) { return -a; });
PotentializedUnionFind uf(n, g);

関連

• 逆元を持たない場合は モノイド

Depends on

• モノイドの定義 (src/algebra/monoid.hpp)

Required by

• マージソートツリー (src/data_structures/merge-sort-tree.hpp)
• ポテンシャル付きUnionFind (src/data_structures/potentialized-unionfind.hpp)

Verified with

• test/aoj/dsl-1-b.1.test.cpp
• test/aoj/dsl-1-b.2.test.cpp
• test/aoj/jag-summer-2971.test.cpp
• test/unittest/monoid.test.cpp
• test/unittest/potentialized-unionfind.test.cpp
• test/yosupo/rectangle-sum.1.test.cpp
• test/yosupo/rectangle-sum.2.test.cpp
• test/yosupo/unionfind-with-potential-non-commutative-group.test.cpp

Code

#pragma once

/**
 * @file group.hpp
 * @brief 群の定義
 *
 * 群はモノイド (algebra/monoid.hpp) のメンバに加えて次のメンバを持つ型として表す
 * - S inv(const S& a): 逆元
 */

#include "monoid.hpp"

namespace group {

/**
 * @brief 加法群
 */
template <typename T>
struct Sum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    static constexpr S inv(const S& a) { return -a; }
};

/**
 * @brief 乗法群 (0を含まない体の元など)
 */
template <typename T>
struct Prod : monoid::Prod<T> {
    using S = T;
    static constexpr S inv(const S& a) { return S(1) / a; }
};

/**
 * @brief 排他的論理和
 */
template <typename T>
struct Xor : monoid::Xor<T> {
    using S = T;
    static constexpr S inv(const S& a) { return a; }
};

} // namespace group

/**
 * @brief 関数オブジェクトと単位元から実行時に作る群
 * ラムダ式を使える
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 * @tparam Inv 逆元の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op, typename Inv>
struct Group {
    using S = T;
    Op op_object;
    S identity;
    Inv inv_object;
    Group() = default;
    constexpr Group(Op op, const S& e, Inv inv) : op_object(std::move(op)), identity(e), inv_object(std::move(inv)) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
    constexpr S inv(const S& a) const { return inv_object(a); }
};
template <typename Op, typename T, typename Inv>
Group(Op, T, Inv) -> Group<T, Op, Inv>;

#line 2 "src/algebra/group.hpp"

/**
 * @file group.hpp
 * @brief 群の定義
 *
 * 群はモノイド (algebra/monoid.hpp) のメンバに加えて次のメンバを持つ型として表す
 * - S inv(const S& a): 逆元
 */

#line 2 "src/algebra/monoid.hpp"

/**
 * @file monoid.hpp
 * @brief モノイドの定義
 *
 * モノイドは次のメンバを持つ型として表す
 * - using S: 要素の型
 * - S op(const S& a, const S& b): 積 (結合的)
 * - S e(): 単位元
 * op, e は static でも非 static でもよい (データ構造はモノイドのオブジェクトを保持して呼び出す)
 */

#include <algorithm>
#include <istream>
#include <limits>
#include <numeric>
#include <ostream>
#include <type_traits>
#include <utility>

/**
 * @brief 1次関数 f(x) = a * x + b
 *
 * monoid::Composite の要素や acted_monoid::AffineSum の作用素に使う
 * 例: Affine<mint> f{2, 3}; f(x) は 2x + 3。省略すると恒等写像 {1, 0}
 */
template <typename T>
struct Affine {
    T a = T(1);  //!< 傾き
    T b = T(0);  //!< 切片
    constexpr T operator()(const T& x) const { return a * x + b; }
    friend constexpr bool operator==(const Affine& f, const Affine& g) { return f.a == g.a && f.b == g.b; }
    friend constexpr bool operator!=(const Affine& f, const Affine& g) { return !(f == g); }
    template <class CharT, class Traits>
    friend std::basic_istream<CharT, Traits>& operator>>(std::basic_istream<CharT, Traits>& is, Affine& f) {
        return is >> f.a >> f.b;
    }
    template <class CharT, class Traits>
    friend std::basic_ostream<CharT, Traits>& operator<<(std::basic_ostream<CharT, Traits>& os, const Affine& f) {
        return os << f.a << CharT(' ') << f.b;
    }
};

namespace monoid {

/**
 * @brief 和
 */
template <typename T>
struct Sum {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a + b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 積
 */
template <typename T>
struct Prod {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a * b; }
    static constexpr S e() { return S(1); }
};

/**
 * @brief 最大値 単位元は型の最小値
 */
template <typename T>
struct Max {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::max(a, b); }
    static constexpr S e() { return std::numeric_limits<S>::lowest(); }
};

/**
 * @brief 最小値 単位元は型の最大値
 */
template <typename T>
struct Min {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::min(a, b); }
    static constexpr S e() { return std::numeric_limits<S>::max(); }
};

/**
 * @brief 最小値と最大値の組 {min, max}
 */
template <typename T>
struct MinMax {
    using S = std::pair<T, T>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return {std::min(a.first, b.first), std::max(a.second, b.second)}; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), std::numeric_limits<T>::lowest()}; }
};

/**
 * @brief 排他的論理和
 */
template <typename T>
struct Xor {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a ^ b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 論理積
 */
template <typename T>
struct And {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a & b; }
    static constexpr S e() { return ~S(0); }
};

/**
 * @brief 論理和
 */
template <typename T>
struct Or {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a | b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 最大公約数 単位元は0
 */
template <typename T>
struct Gcd {
    static_assert(std::is_integral_v<T>);
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::gcd(a, b); }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 最小公倍数 単位元は1
 */
template <typename T>
struct Lcm {
    static_assert(std::is_integral_v<T>);
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::lcm(a, b); }
    static constexpr S e() { return S(1); }
};

/**
 * @brief 1次関数 (Affine) の合成
 * op(f, g) = g∘f (左から順に適用する)
 * 区間 [l, r) の積は f_{r-1}(...f_l(x)) を表す
 */
template <typename T>
struct Composite {
    using S = Affine<T>;
    static constexpr S op(const S& f, const S& g) { return {g.a * f.a, g.a * f.b + g.b}; }
    static constexpr S e() { return {T(1), T(0)}; }
};

/**
 * @brief 括弧列 対応の取れていない ')' と '(' の個数
 */
struct Parenthesis {
    struct S {
        long long close; // 対応の取れていない ')' の個数
        long long open;  // 対応の取れていない '(' の個数
        constexpr S(char c = 0) : close(c == ')'), open(c == '(') {}
        constexpr S(long long close, long long open) : close(close), open(open) {}
        /**
         * @brief 正しい括弧列か
         */
        constexpr bool is_valid() const { return close == 0 && open == 0; }
    };
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.open >= b.close) return S(a.close, a.open - b.close + b.open);
        return S(a.close + b.close - a.open, b.open);
    }
    static constexpr S e() { return S(); }
};

/**
 * @brief 最小値とその位置 同じ値なら左側を優先
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 位置などの付随する値の型
 */
template <typename T, typename U = int>
struct MinWith {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return b.first < a.first ? b : a; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), U{}}; }
};

/**
 * @brief 最大値とその位置 同じ値なら左側を優先
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 位置などの付随する値の型
 */
template <typename T, typename U = int>
struct MaxWith {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a.first < b.first ? b : a; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::lowest(), U{}}; }
};

/**
 * @brief 最小値とその個数
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 個数の型
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct MinCount {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.first < b.first) return a;
        if(b.first < a.first) return b;
        return {a.first, a.second + b.second};
    }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), U(0)}; }
};

/**
 * @brief 最大値とその個数
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 個数の型
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct MaxCount {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.first < b.first) return b;
        if(b.first < a.first) return a;
        return {a.first, a.second + b.second};
    }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::lowest(), U(0)}; }
};

} // namespace monoid

/**
 * @brief 関数オブジェクトと単位元から実行時に作るモノイド
 * ラムダ式を使える
 *
 * 例: SegTree seg(v, Monoid([](int a, int b) { return std::max(a, b); }, -1));
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op>
struct Monoid {
    using S = T;
    Op op_object;
    S identity;
    Monoid() = default;
    constexpr Monoid(Op op, const S& e) : op_object(std::move(op)), identity(e) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
};
template <typename Op, typename T>
Monoid(Op, T) -> Monoid<T, Op>;
#line 12 "src/algebra/group.hpp"

namespace group {

/**
 * @brief 加法群
 */
template <typename T>
struct Sum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    static constexpr S inv(const S& a) { return -a; }
};

/**
 * @brief 乗法群 (0を含まない体の元など)
 */
template <typename T>
struct Prod : monoid::Prod<T> {
    using S = T;
    static constexpr S inv(const S& a) { return S(1) / a; }
};

/**
 * @brief 排他的論理和
 */
template <typename T>
struct Xor : monoid::Xor<T> {
    using S = T;
    static constexpr S inv(const S& a) { return a; }
};

} // namespace group

/**
 * @brief 関数オブジェクトと単位元から実行時に作る群
 * ラムダ式を使える
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 * @tparam Inv 逆元の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op, typename Inv>
struct Group {
    using S = T;
    Op op_object;
    S identity;
    Inv inv_object;
    Group() = default;
    constexpr Group(Op op, const S& e, Inv inv) : op_object(std::move(op)), identity(e), inv_object(std::move(inv)) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
    constexpr S inv(const S& a) const { return inv_object(a); }
};
template <typename Op, typename T, typename Inv>
Group(Op, T, Inv) -> Group<T, Op, Inv>;

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