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:heavy_check_mark: 作用素付きモノイドの定義
(src/algebra/acted-monoid.hpp)

遅延伝搬セグメント木 などに渡す作用素付きモノイドです。

作用素付きモノイドは、モノイド のメンバに加えて次のメンバを持つ型として表します。

一覧 (namespace acted_monoid)

作用素付きモノイド 作用 取得 作用素の型 F inv
AddSum<T> 区間加算 区間和 T ✓
MulSum<T> 区間乗算 区間和 T ✓
AddMin<T> 区間加算 区間最小値 T  
AddMax<T> 区間加算 区間最大値 T  
UpdateSum<T> 区間代入 区間和 optional<T>  
UpdateMin<T> 区間代入 区間最小値 optional<T>  
UpdateMax<T> 区間代入 区間最大値 optional<T>  
ChminMin<T> 区間 chmin 区間最小値 T  
ChmaxMax<T> 区間 chmax 区間最大値 T  
AffineSum<T> 区間アフィン変換 $x \leftarrow ax + b$ 区間和 Affine<T>  
UpdateComposite<T> 区間代入 1次関数の合成 (monoid::Composite) optional<Affine<T>>  
AddMinWith<T, U = int> 区間加算 区間最小値とその位置 T  
AddMaxWith<T, U = int> 区間加算 区間最大値とその位置 T  
AddMinCount<T, U = long long> 区間加算 区間最小値とその個数 T  
AddMaxCount<T, U = long long> 区間加算 区間最大値とその個数 T  
AddPowerSum<T, K> 区間加算 区間の 0 乗和から K 乗和 T  

AddPowerSum の要素は S(x) で値 x の1要素から作り、s[i] で i 乗和を取得します。

ラムダ式から作る

ActedMonoid(op, e, mapping, composition, id) で、関数オブジェクトから作用素付きモノイドを作れます。mapping の引数は (f, x)、(f, x, sz)、(f, x, l, r) のいずれでもかまいません。

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#pragma once

/**
 * @file acted-monoid.hpp
 * @brief 作用素付きモノイドの定義
 *
 * 作用素付きモノイドはモノイド (algebra/monoid.hpp) のメンバに加えて次のメンバを持つ型として表す
 * - using F: 作用素の型
 * - S mapping(const F& f, const S& x): 作用素の適用 f(x)
 *   区間の情報が必要な場合は mapping(f, x, sz) (sz は区間の長さ) や mapping(f, x, l, r) (区間 [l, r)) でもよい
 * - F composition(const F& f, const F& g): 作用素の合成 f∘g (gを適用した後にfを適用する)
 * - F id(): 恒等写像
 * 作用素が群をなす場合 (imos.hpp で使う) は
 * - F inv(const F& f): 逆作用素
 */

#include <array>
#include <limits>
#include <optional>
#include <type_traits>
#include <utility>
#include "monoid.hpp"

namespace acted_monoid {

namespace detail {
template <typename A, typename = void>
struct has_mapping_lr : std::false_type {};
template <typename A>
struct has_mapping_lr<A, std::void_t<decltype(std::declval<const A&>().mapping(std::declval<const typename A::F&>(), std::declval<const typename A::S&>(), 0, 0))>> : std::true_type {};
template <typename A, typename = void>
struct has_mapping_sz : std::false_type {};
template <typename A>
struct has_mapping_sz<A, std::void_t<decltype(std::declval<const A&>().mapping(std::declval<const typename A::F&>(), std::declval<const typename A::S&>(), 0))>> : std::true_type {};
} // namespace detail

/**
 * @brief 区間 [l, r) を表す要素に作用素を適用する
 * mapping の引数の形の違いを吸収する
 */
template <typename A>
constexpr auto apply_mapping(const A& a, const typename A::F& f, const typename A::S& x, int l, int r) {
    if constexpr(detail::has_mapping_lr<A>::value) {
        return a.mapping(f, x, l, r);
    } else if constexpr(detail::has_mapping_sz<A>::value) {
        return a.mapping(f, x, r - l);
    } else {
        return a.mapping(f, x);
    }
}

/**
 * @brief 区間加算、区間和
 */
template <typename T>
struct AddSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) { return x + f * S(sz); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
    static constexpr F inv(const F& f) { return -f; }
};

/**
 * @brief 区間乗算、区間和
 */
template <typename T>
struct MulSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return f * x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f * g; }
    static constexpr F id() { return F(1); }
    static constexpr F inv(const F& f) { return F(1) / f; }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最小値
 */
template <typename T>
struct AddMin : monoid::Min<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return x + f; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最大値
 */
template <typename T>
struct AddMax : monoid::Max<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return x + f; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間代入、区間和
 */
template <typename T>
struct UpdateSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = std::optional<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) { return f ? *f * S(sz) : x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間代入、区間最小値
 */
template <typename T>
struct UpdateMin : monoid::Min<T> {
    using S = T;
    using F = std::optional<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return f ? *f : x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間代入、区間最大値
 */
template <typename T>
struct UpdateMax : monoid::Max<T> {
    using S = T;
    using F = std::optional<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return f ? *f : x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間chmin、区間最小値
 */
template <typename T>
struct ChminMin : monoid::Min<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return std::min(f, x); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return std::min(f, g); }
    static constexpr F id() { return std::numeric_limits<F>::max(); }
};

/**
 * @brief 区間chmax、区間最大値
 */
template <typename T>
struct ChmaxMax : monoid::Max<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return std::max(f, x); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return std::max(f, g); }
    static constexpr F id() { return std::numeric_limits<F>::lowest(); }
};

/**
 * @brief 区間アフィン変換 x <- a * x + b (Affine)、区間和
 */
template <typename T>
struct AffineSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = Affine<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) { return f.a * x + f.b * S(sz); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return {f.a * g.a, f.a * g.b + f.b}; }
    static constexpr F id() { return {T(1), T(0)}; }
};

/**
 * @brief 区間代入、1次関数の合成 (monoid::Composite)
 */
template <typename T>
struct UpdateComposite : monoid::Composite<T> {
    using S = Affine<T>;
    using F = std::optional<S>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) {
        if(!f) return x;
        // f を sz 回合成する
        S ret = monoid::Composite<T>::e(), p = *f;
        for(; sz > 0; sz >>= 1) {
            if(sz & 1) ret = monoid::Composite<T>::op(ret, p);
            p = monoid::Composite<T>::op(p, p);
        }
        return ret;
    }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最小値とその位置 (monoid::MinWith)
 */
template <typename T, typename U = int>
struct AddMinWith : monoid::MinWith<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最大値とその位置 (monoid::MaxWith)
 */
template <typename T, typename U = int>
struct AddMaxWith : monoid::MaxWith<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最小値とその個数 (monoid::MinCount)
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct AddMinCount : monoid::MinCount<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最大値とその個数 (monoid::MaxCount)
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct AddMaxCount : monoid::MaxCount<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間の0乗和からK乗和
 *
 * S(x) で値 x の1要素を表す要素を作る。S::operator[](i) で i 乗和を取得する
 */
template <typename T, int K>
struct AddPowerSum {
    struct S {
        std::array<T, K + 1> val;
        S() : val{} {}
        S(const T& x) {
            val[0] = T(1);
            for(int i = 1; i <= K; i++) val[i] = val[i - 1] * x;
        }
        const T& operator[](std::size_t i) const { return val[i]; }
    };
    using F = T;
    static S op(const S& a, const S& b) {
        S ret;
        for(int i = 0; i <= K; i++) ret.val[i] = a.val[i] + b.val[i];
        return ret;
    }
    static S e() { return S(); }
    static S mapping(const F& f, const S& x) {
        // sum (x+f)^i = sum_j binom(i, j) f^j x^(i-j)
        static const auto binom = [] {
            std::array<std::array<T, K + 1>, K + 1> c{};
            for(int i = 0; i <= K; i++) {
                c[i][0] = c[i][i] = T(1);
                for(int j = 1; j < i; j++) c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
            }
            return c;
        }();
        std::array<T, K + 1> pw{};
        pw[0] = T(1);
        for(int i = 1; i <= K; i++) pw[i] = pw[i - 1] * f;
        S ret;
        for(int i = 0; i <= K; i++) {
            for(int j = 0; j <= i; j++) ret.val[i] += binom[i][j] * pw[j] * x.val[i - j];
        }
        return ret;
    }
    static F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static F id() { return F(0); }
};

} // namespace acted_monoid

/**
 * @brief 関数オブジェクトから実行時に作る作用素付きモノイド
 * ラムダ式を使える
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 * @tparam U 作用素の型
 * @tparam Mapping 作用素を適用する関数オブジェクトの型 引数は (f, x), (f, x, sz), (f, x, l, r) のいずれか
 * @tparam Composition 作用素の合成の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op, typename U, typename Mapping, typename Composition>
struct ActedMonoid {
    using S = T;
    using F = U;
    Op op_object;
    S identity;
    Mapping mapping_object;
    Composition composition_object;
    F lazy_identity;
    ActedMonoid() = default;
    constexpr ActedMonoid(Op op, const S& e, Mapping mapping, Composition composition, const F& id)
        : op_object(std::move(op)), identity(e), mapping_object(std::move(mapping)), composition_object(std::move(composition)), lazy_identity(id) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
    constexpr auto mapping(const F& f, const S& x, int l, int r) const {
        if constexpr(std::is_invocable_v<const Mapping&, const F&, const S&, int, int>) {
            return mapping_object(f, x, l, r);
        } else if constexpr(std::is_invocable_v<const Mapping&, const F&, const S&, int>) {
            return mapping_object(f, x, r - l);
        } else {
            return mapping_object(f, x);
        }
    }
    constexpr F composition(const F& f, const F& g) const { return composition_object(f, g); }
    constexpr F id() const { return lazy_identity; }
};
template <typename Op, typename T, typename Mapping, typename Composition, typename U>
ActedMonoid(Op, T, Mapping, Composition, U) -> ActedMonoid<T, Op, U, Mapping, Composition>;
#line 2 "src/algebra/acted-monoid.hpp"

/**
 * @file acted-monoid.hpp
 * @brief 作用素付きモノイドの定義
 *
 * 作用素付きモノイドはモノイド (algebra/monoid.hpp) のメンバに加えて次のメンバを持つ型として表す
 * - using F: 作用素の型
 * - S mapping(const F& f, const S& x): 作用素の適用 f(x)
 *   区間の情報が必要な場合は mapping(f, x, sz) (sz は区間の長さ) や mapping(f, x, l, r) (区間 [l, r)) でもよい
 * - F composition(const F& f, const F& g): 作用素の合成 f∘g (gを適用した後にfを適用する)
 * - F id(): 恒等写像
 * 作用素が群をなす場合 (imos.hpp で使う) は
 * - F inv(const F& f): 逆作用素
 */

#include <array>
#include <limits>
#include <optional>
#include <type_traits>
#include <utility>
#line 2 "src/algebra/monoid.hpp"

/**
 * @file monoid.hpp
 * @brief モノイドの定義
 *
 * モノイドは次のメンバを持つ型として表す
 * - using S: 要素の型
 * - S op(const S& a, const S& b): 積 (結合的)
 * - S e(): 単位元
 * op, e は static でも非 static でもよい (データ構造はモノイドのオブジェクトを保持して呼び出す)
 */

#include <algorithm>
#include <istream>
#line 17 "src/algebra/monoid.hpp"
#include <numeric>
#include <ostream>
#line 21 "src/algebra/monoid.hpp"

/**
 * @brief 1次関数 f(x) = a * x + b
 *
 * monoid::Composite の要素や acted_monoid::AffineSum の作用素に使う
 * 例: Affine<mint> f{2, 3}; f(x) は 2x + 3。省略すると恒等写像 {1, 0}
 */
template <typename T>
struct Affine {
    T a = T(1);  //!< 傾き
    T b = T(0);  //!< 切片
    constexpr T operator()(const T& x) const { return a * x + b; }
    friend constexpr bool operator==(const Affine& f, const Affine& g) { return f.a == g.a && f.b == g.b; }
    friend constexpr bool operator!=(const Affine& f, const Affine& g) { return !(f == g); }
    template <class CharT, class Traits>
    friend std::basic_istream<CharT, Traits>& operator>>(std::basic_istream<CharT, Traits>& is, Affine& f) {
        return is >> f.a >> f.b;
    }
    template <class CharT, class Traits>
    friend std::basic_ostream<CharT, Traits>& operator<<(std::basic_ostream<CharT, Traits>& os, const Affine& f) {
        return os << f.a << CharT(' ') << f.b;
    }
};

namespace monoid {

/**
 * @brief 和
 */
template <typename T>
struct Sum {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a + b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 積
 */
template <typename T>
struct Prod {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a * b; }
    static constexpr S e() { return S(1); }
};

/**
 * @brief 最大値 単位元は型の最小値
 */
template <typename T>
struct Max {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::max(a, b); }
    static constexpr S e() { return std::numeric_limits<S>::lowest(); }
};

/**
 * @brief 最小値 単位元は型の最大値
 */
template <typename T>
struct Min {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::min(a, b); }
    static constexpr S e() { return std::numeric_limits<S>::max(); }
};

/**
 * @brief 最小値と最大値の組 {min, max}
 */
template <typename T>
struct MinMax {
    using S = std::pair<T, T>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return {std::min(a.first, b.first), std::max(a.second, b.second)}; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), std::numeric_limits<T>::lowest()}; }
};

/**
 * @brief 排他的論理和
 */
template <typename T>
struct Xor {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a ^ b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 論理積
 */
template <typename T>
struct And {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a & b; }
    static constexpr S e() { return ~S(0); }
};

/**
 * @brief 論理和
 */
template <typename T>
struct Or {
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a | b; }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 最大公約数 単位元は0
 */
template <typename T>
struct Gcd {
    static_assert(std::is_integral_v<T>);
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::gcd(a, b); }
    static constexpr S e() { return S(0); }
};

/**
 * @brief 最小公倍数 単位元は1
 */
template <typename T>
struct Lcm {
    static_assert(std::is_integral_v<T>);
    using S = T;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return std::lcm(a, b); }
    static constexpr S e() { return S(1); }
};

/**
 * @brief 1次関数 (Affine) の合成
 * op(f, g) = g∘f (左から順に適用する)
 * 区間 [l, r) の積は f_{r-1}(...f_l(x)) を表す
 */
template <typename T>
struct Composite {
    using S = Affine<T>;
    static constexpr S op(const S& f, const S& g) { return {g.a * f.a, g.a * f.b + g.b}; }
    static constexpr S e() { return {T(1), T(0)}; }
};

/**
 * @brief 括弧列 対応の取れていない ')' と '(' の個数
 */
struct Parenthesis {
    struct S {
        long long close; // 対応の取れていない ')' の個数
        long long open;  // 対応の取れていない '(' の個数
        constexpr S(char c = 0) : close(c == ')'), open(c == '(') {}
        constexpr S(long long close, long long open) : close(close), open(open) {}
        /**
         * @brief 正しい括弧列か
         */
        constexpr bool is_valid() const { return close == 0 && open == 0; }
    };
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.open >= b.close) return S(a.close, a.open - b.close + b.open);
        return S(a.close + b.close - a.open, b.open);
    }
    static constexpr S e() { return S(); }
};

/**
 * @brief 最小値とその位置 同じ値なら左側を優先
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 位置などの付随する値の型
 */
template <typename T, typename U = int>
struct MinWith {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return b.first < a.first ? b : a; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), U{}}; }
};

/**
 * @brief 最大値とその位置 同じ値なら左側を優先
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 位置などの付随する値の型
 */
template <typename T, typename U = int>
struct MaxWith {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) { return a.first < b.first ? b : a; }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::lowest(), U{}}; }
};

/**
 * @brief 最小値とその個数
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 個数の型
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct MinCount {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.first < b.first) return a;
        if(b.first < a.first) return b;
        return {a.first, a.second + b.second};
    }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::max(), U(0)}; }
};

/**
 * @brief 最大値とその個数
 *
 * @tparam T 値の型
 * @tparam U 個数の型
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct MaxCount {
    using S = std::pair<T, U>;
    static constexpr S op(const S& a, const S& b) {
        if(a.first < b.first) return b;
        if(b.first < a.first) return a;
        return {a.first, a.second + b.second};
    }
    static constexpr S e() { return {std::numeric_limits<T>::lowest(), U(0)}; }
};

} // namespace monoid

/**
 * @brief 関数オブジェクトと単位元から実行時に作るモノイド
 * ラムダ式を使える
 *
 * 例: SegTree seg(v, Monoid([](int a, int b) { return std::max(a, b); }, -1));
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op>
struct Monoid {
    using S = T;
    Op op_object;
    S identity;
    Monoid() = default;
    constexpr Monoid(Op op, const S& e) : op_object(std::move(op)), identity(e) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
};
template <typename Op, typename T>
Monoid(Op, T) -> Monoid<T, Op>;
#line 23 "src/algebra/acted-monoid.hpp"

namespace acted_monoid {

namespace detail {
template <typename A, typename = void>
struct has_mapping_lr : std::false_type {};
template <typename A>
struct has_mapping_lr<A, std::void_t<decltype(std::declval<const A&>().mapping(std::declval<const typename A::F&>(), std::declval<const typename A::S&>(), 0, 0))>> : std::true_type {};
template <typename A, typename = void>
struct has_mapping_sz : std::false_type {};
template <typename A>
struct has_mapping_sz<A, std::void_t<decltype(std::declval<const A&>().mapping(std::declval<const typename A::F&>(), std::declval<const typename A::S&>(), 0))>> : std::true_type {};
} // namespace detail

/**
 * @brief 区間 [l, r) を表す要素に作用素を適用する
 * mapping の引数の形の違いを吸収する
 */
template <typename A>
constexpr auto apply_mapping(const A& a, const typename A::F& f, const typename A::S& x, int l, int r) {
    if constexpr(detail::has_mapping_lr<A>::value) {
        return a.mapping(f, x, l, r);
    } else if constexpr(detail::has_mapping_sz<A>::value) {
        return a.mapping(f, x, r - l);
    } else {
        return a.mapping(f, x);
    }
}

/**
 * @brief 区間加算、区間和
 */
template <typename T>
struct AddSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) { return x + f * S(sz); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
    static constexpr F inv(const F& f) { return -f; }
};

/**
 * @brief 区間乗算、区間和
 */
template <typename T>
struct MulSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return f * x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f * g; }
    static constexpr F id() { return F(1); }
    static constexpr F inv(const F& f) { return F(1) / f; }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最小値
 */
template <typename T>
struct AddMin : monoid::Min<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return x + f; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最大値
 */
template <typename T>
struct AddMax : monoid::Max<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return x + f; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間代入、区間和
 */
template <typename T>
struct UpdateSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = std::optional<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) { return f ? *f * S(sz) : x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間代入、区間最小値
 */
template <typename T>
struct UpdateMin : monoid::Min<T> {
    using S = T;
    using F = std::optional<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return f ? *f : x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間代入、区間最大値
 */
template <typename T>
struct UpdateMax : monoid::Max<T> {
    using S = T;
    using F = std::optional<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return f ? *f : x; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間chmin、区間最小値
 */
template <typename T>
struct ChminMin : monoid::Min<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return std::min(f, x); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return std::min(f, g); }
    static constexpr F id() { return std::numeric_limits<F>::max(); }
};

/**
 * @brief 区間chmax、区間最大値
 */
template <typename T>
struct ChmaxMax : monoid::Max<T> {
    using S = T;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return std::max(f, x); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return std::max(f, g); }
    static constexpr F id() { return std::numeric_limits<F>::lowest(); }
};

/**
 * @brief 区間アフィン変換 x <- a * x + b (Affine)、区間和
 */
template <typename T>
struct AffineSum : monoid::Sum<T> {
    using S = T;
    using F = Affine<T>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) { return f.a * x + f.b * S(sz); }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return {f.a * g.a, f.a * g.b + f.b}; }
    static constexpr F id() { return {T(1), T(0)}; }
};

/**
 * @brief 区間代入、1次関数の合成 (monoid::Composite)
 */
template <typename T>
struct UpdateComposite : monoid::Composite<T> {
    using S = Affine<T>;
    using F = std::optional<S>;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x, int sz) {
        if(!f) return x;
        // f を sz 回合成する
        S ret = monoid::Composite<T>::e(), p = *f;
        for(; sz > 0; sz >>= 1) {
            if(sz & 1) ret = monoid::Composite<T>::op(ret, p);
            p = monoid::Composite<T>::op(p, p);
        }
        return ret;
    }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f ? f : g; }
    static constexpr F id() { return std::nullopt; }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最小値とその位置 (monoid::MinWith)
 */
template <typename T, typename U = int>
struct AddMinWith : monoid::MinWith<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最大値とその位置 (monoid::MaxWith)
 */
template <typename T, typename U = int>
struct AddMaxWith : monoid::MaxWith<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最小値とその個数 (monoid::MinCount)
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct AddMinCount : monoid::MinCount<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間最大値とその個数 (monoid::MaxCount)
 */
template <typename T, typename U = long long>
struct AddMaxCount : monoid::MaxCount<T, U> {
    using S = std::pair<T, U>;
    using F = T;
    static constexpr S mapping(const F& f, const S& x) { return {x.first + f, x.second}; }
    static constexpr F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static constexpr F id() { return F(0); }
};

/**
 * @brief 区間加算、区間の0乗和からK乗和
 *
 * S(x) で値 x の1要素を表す要素を作る。S::operator[](i) で i 乗和を取得する
 */
template <typename T, int K>
struct AddPowerSum {
    struct S {
        std::array<T, K + 1> val;
        S() : val{} {}
        S(const T& x) {
            val[0] = T(1);
            for(int i = 1; i <= K; i++) val[i] = val[i - 1] * x;
        }
        const T& operator[](std::size_t i) const { return val[i]; }
    };
    using F = T;
    static S op(const S& a, const S& b) {
        S ret;
        for(int i = 0; i <= K; i++) ret.val[i] = a.val[i] + b.val[i];
        return ret;
    }
    static S e() { return S(); }
    static S mapping(const F& f, const S& x) {
        // sum (x+f)^i = sum_j binom(i, j) f^j x^(i-j)
        static const auto binom = [] {
            std::array<std::array<T, K + 1>, K + 1> c{};
            for(int i = 0; i <= K; i++) {
                c[i][0] = c[i][i] = T(1);
                for(int j = 1; j < i; j++) c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
            }
            return c;
        }();
        std::array<T, K + 1> pw{};
        pw[0] = T(1);
        for(int i = 1; i <= K; i++) pw[i] = pw[i - 1] * f;
        S ret;
        for(int i = 0; i <= K; i++) {
            for(int j = 0; j <= i; j++) ret.val[i] += binom[i][j] * pw[j] * x.val[i - j];
        }
        return ret;
    }
    static F composition(const F& f, const F& g) { return f + g; }
    static F id() { return F(0); }
};

} // namespace acted_monoid

/**
 * @brief 関数オブジェクトから実行時に作る作用素付きモノイド
 * ラムダ式を使える
 *
 * @tparam T 要素の型
 * @tparam Op 積の関数オブジェクトの型
 * @tparam U 作用素の型
 * @tparam Mapping 作用素を適用する関数オブジェクトの型 引数は (f, x), (f, x, sz), (f, x, l, r) のいずれか
 * @tparam Composition 作用素の合成の関数オブジェクトの型
 */
template <typename T, typename Op, typename U, typename Mapping, typename Composition>
struct ActedMonoid {
    using S = T;
    using F = U;
    Op op_object;
    S identity;
    Mapping mapping_object;
    Composition composition_object;
    F lazy_identity;
    ActedMonoid() = default;
    constexpr ActedMonoid(Op op, const S& e, Mapping mapping, Composition composition, const F& id)
        : op_object(std::move(op)), identity(e), mapping_object(std::move(mapping)), composition_object(std::move(composition)), lazy_identity(id) {}
    constexpr S op(const S& a, const S& b) const { return op_object(a, b); }
    constexpr S e() const { return identity; }
    constexpr auto mapping(const F& f, const S& x, int l, int r) const {
        if constexpr(std::is_invocable_v<const Mapping&, const F&, const S&, int, int>) {
            return mapping_object(f, x, l, r);
        } else if constexpr(std::is_invocable_v<const Mapping&, const F&, const S&, int>) {
            return mapping_object(f, x, r - l);
        } else {
            return mapping_object(f, x);
        }
    }
    constexpr F composition(const F& f, const F& g) const { return composition_object(f, g); }
    constexpr F id() const { return lazy_identity; }
};
template <typename Op, typename T, typename Mapping, typename Composition, typename U>
ActedMonoid(Op, T, Mapping, Composition, U) -> ActedMonoid<T, Op, U, Mapping, Composition>;
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